Das System und der Gödelsche Unvollständigkeitssatz.

 Kurt Gödel als Student der Universität Wien, 1925
aus wikipedia                                                             zu Wissenschaftslehre - die fast vollendete Vernunftkritik

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Leistungsfähigkeit auf. Er weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen ge-ben muss, die man formal weder beweisen noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Undurchführbarkeit des Hilbertprogramms, das von David Hilbert unter anderem be-gründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 von dem österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht.

Genauer werden zwei Unvollständigkeitssätze unterschieden: Der erste Unvollständig-keitssatz besagt, dass es in allen hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen unbe-weisbare Aussagen gibt. Der zweite Unvollständigkeitssatz besagt, dass hinreichend starke widerspruchsfreie Systeme ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen können.

Durch diese Sätze ist der Mathematik eine prinzipielle Grenze gesetzt: Nicht jeder mathe-matische Satz kann aus den Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (zum Beispiel Arithmetik, Geometrie und Algebra) formal abgeleitet oder widerlegt werden.

In der Wissenschaftstheorie und anderen Gebieten der Philosophie zählt der Satz zu den meistrezipierten der Mathematik. Das Buch Gödel, Escher, Bach und die Werke von John Randolph Lucas werden häufig exemplarisch hervorgehoben.

Grundbegriffe

Aussagen sind Folgen von Zeichen, die ähnlich wie ein Programm einer Programmierspra-che einer gewissen Syntax genügen müssen. Für solche Aussagen kann man im Rahmen der Modelltheorie das Konzept der Gültigkeit oder Wahrheit in Strukturen definieren. Dabei kann die Wahrheit einer Aussage durchaus von der betrachteten Struktur abhängen: Die Aussage „Es gibt eine Zahl zwischen 0 und 1“ gilt zum Beispiel in den rationalen (oder Bruch-)Zahlen (die rationale Zahl ³⁄₄ liegt zwischen 0 und 1), aber nicht in den ganzen Zahlen (es gibt keine ganze Zahl zwis-chen 0 und 1).

Ein formales System ist ein System, in dem sich mathematische Aussagen beweisen lassen. Jedes formale System besteht aus einer Sprache, die die Menge der wohlgeformten For-meln und Aussagen spezifiziert, einer Menge von Axiomen und einer Menge von Schluss-regeln, mit denen aus bereits bewiesenen Aussagen neue Aussagen hergeleitet werden kön-nen. Ein formales System bestimmt eine Theorie, die Menge aller im System herleitbaren Aussagen. Wichtig ist dabei, dass die Korrektheit eines Beweises im formalen System auf mechanische Weise verifiziert werden kann. Damit sind beispielsweise Kalküle mit unend-lich großen Beweisen keine formalen Systeme in diesem Sinne. Im Sinne der Berechen-barkeitstheorie entspricht dies der formalen Forderung, dass die Theorie rekursiv aufzähl-bar sein muss. ...

 

Nota. - Grund und System sind keine spezifisch mathematischen Themen, aber in einem allgemeinem Sinn logische Themen sind sie wohl - spätestens(?), seit die Menschen anfin-gen, sich eine Welt vorzustellen - ich meine: vorzustellen und nicht bloß anzuschauen wie verstreute Partikel auf einer Leinwand. 

Letzteres wäre gar nicht anschaulich, sondern bereits Ergebnis einer abstrahierenden Re-flexion. Doch für die Vorstellung ergibt sich (erstmals?) die Aufgabe, eigenständige Einzel-ne so zusammenzudenken, dass einerseits ihrer Besonderheit kein Abbruch geschieht, zu-gleich aber auch etwas zu denken, das ihnen allen gemeinsam ist und sie ihrerseits zu einem besonderen Einzelnen zusammen fügt: Das wäre ein Grund, der ein System schafft. Das ist keine Gleichung, sondern ein Bild, das unter Spannung steht.

Es ist das dialektische Elemtentarverhältnis von Emanation und Immanenz. 

Zuerst (?) ausgesprochen wurde der Systemgedanke wohl in der Zweiten oder 'mittleren' Stoa. Das ware eine esoterische Lehr- und Kultgemeinschaft, die sich mündlich und weitge-hend ohne schriftliche Zeugnisse fortpflanzte. Statt systema hieß es öfter syntagma: das zu-sammen-Gesetzte. Es war wohl mehr Vorstellung als Begriff, denn unentschieden blieb, ob mehr das zusammen-Gesetzte oder das zusammen-Gesetzte gemeint war. 

Stoisches Gedankengut wurde erneut wirksam in der Renaissance, wo es als (neu)-plato-nisch missverstanden wurde, weil als dessen authentischer Referent Plotin aufgefasst wur-de. Plotin spricht in formlos fragmentarischen Bildern, von Proklos wurde er in Begriffe und zum (logischen) System formalisiert, und spitze Zungen wollen ihn als die eigentliche Quelle Hegels ausmachen, der die System-Idee zu Tode geritten und bis heute diskreditiert hat. 

Und es prägte das Denken der christlichen Philosophie bis ins 13. Jahrhundert.

Mehr das Große Ganze - das Eine - als das noch so 'natürlich' aus Einzelnem Zusammen-gesetzte war Voraussetzung der Welt anschauung: Das Eine ist vor dem Mannigfaltigen da. Wie ein Krater, in dem Alles noch ineinander verschmolzen lag. Fragt sich aber: Wie kam das Eine denn dazu, sich in Vieles zu zergliedern? 'Es wurde ihm in seiner Fülle bei sich zu eng' - anders ist es kaum zu denken, es quoll über sich hinaus, es emanierte. So hörte es denn auf, eins zu sein. Das sollte es aber nicht - wenn es nicht eins geblieben war, sollte es eins wieder werden. Die Einzelnen mussten als so aufeinander bezogen gedacht werden, dass ein jedes nur im und durch diesen Bezug 'es selbst' bleiben konnte. Das ist die Vorstellung der Immanenz.

Im System soll alles e manieren und zugleich im manieren. Sonst wäre es bloß ein soritischer Haufen und es bliebe offen, ab wo es einer würde.

Beim geometrischen Spinoza gibt es das Problem nicht. Der eine Deus sive natura zerlegt sich immer nur ins Detail, zu sich zurück kehrt er gar nicht.

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Das System wurde wieder zum Thema, als fleißige Schüler von Leibniz daran gingen, seine essayistischen Aperçus in einen diskursiven Zusammenhang zu zwingen. Aber Herleitungen und Schlussfolgerungen findet man bei Wolff und Baumgarten kaum, es wird das meiste an-einander geheftet durch und. Als Kant mit beiden reinen Tisch machte, ging zugleich auch der Systemgedanke unter, nicht ganz aber bei ihm selbst. Doch er kam damit nicht zurande, er wolle nämlich 'Gott und die Welt' unter einen Hut zwingen, wohin sie nicht passen.

Ins Zentrum des philosophische Denkens wurde es von seinem verleugneten Schüler Fichte gerückt, der die Systematizität des philosophischen Verfahrens geradewegs zum Prüfstein für dessen Wissenschaftlichkeit machte.

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Und nun zurück zum Unvollständigkeitssatz. Nach Fichte kann der Grund eines Systems gar nicht in ihm selber vorkommen; denn dann wäre er im System begründet und das Sy-stem nicht in ihm. Die besonderen Bestimmungen im System sollen einander sämtlich wechselseitig begründen, man soll von jeder Einzelbestimmung bis zu jeder anderen gelan-gen können. Das darf aber für den Grund selber nicht gelten: Der muss seine eigene Gül-tigkeit behaupten, und die kann nur außerhalb des Systems liegen.

Dargestellt wird das System auf der ersten semantischen Ebene. Aber aufgestellt wurde auf der zweiten, der Meta-Ebene. 

Kurt Gödel wird es kaum geträumt haben, dass er mit seinem mathematischen Unvollstän-digkeitssatz den Elementarsatz der Transzendentalphilosophie postuliert hat. Ich bin kein Mathematiker. Doch wenn es notwendig im System Sätze gibt, die schlechterdings im Sy-stem nicht begründet werden können, sofern das System als Ganzes gelten soll, dann kommt es nicht darauf an, ob es dieser oder ein anderer Satz ist. Man könnte wohl das System anders formulieren und er würde begründet; aber dann fielen andere Sätze aus: Immer bräuchte es Sätze, die von außen aus systemfremden Gründen hineingesteckt werden.

Solche Gründe nennt Fichte Wollen. Sie kommen nicht in der Reihe der systemisch not-wendigen Bestimmungen vor, sondern werden von außerhalb gesetzt von dem, der das System zu diesem oder einem andern Zweck gesetzt hat.
JE